解题思路1：
假设数为 X,Y;和为X+Y=A,积为X*Y=B.
根据庞第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道，X+Y不是两个素数之和。那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.
我们再计算一下B的可能值：
和是11能得到的积:18,24,28,30
和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的积:42,60...
和是27能得到的积:50,72...
和是29能得到的积:...
和是35能得到的积:66...
和是37能得到的积:70...
......
我们可以得出可能的B为....，当然了，有些数（30=5*6=2*15）出现不止一次。
这时候，孙依据自己的数比较计算后，“我现在能够确定这两个数字了。”
我们依据这句话，和我们算出来的B的集合，我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。
和是11能得到的积:18,24,28
和是17能得到的积:52
和是23能得到的积:42,76...
和是27能得到的积:50,92...
和是29能得到的积:54,78...
和是35能得到的积:96,124...
和是37能得到的积:,...
......
因为庞说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。那么X和Y分别是4和13。
解题思路2：
说话依次编号为，P1，S2。
设这两个数为x，y，和为s，积为p。
由，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s＜＝41，因为如果s＞41，那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（关于这一点，参考老马的证明，这一点很巧妙，可以省不少事情）。所以和s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。
1).假设和是11。11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果P拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。
2).假设和是17。17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。
3).假设和是23。23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。
4).假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。
5).假设和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1，所以和不是29。
6).假设和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1，所以和不是35。
7).假设和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1，所以和不是37。
8).假设和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以断言P1，所以和不是41。
综上所述：这两个数是4和13。
解题思路3：
孙庞猜数的手算推理解法
1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。
因为如果和54
恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53*a，于是孙知道，这原来两个数中至少有
一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有53这个因子的，只能是
53本身，所以孙就可以只凭这个积53*a推断出这两个数术53和a。所以如果庞知道的
S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定
你也不知道这两个数是什么”这种话。
如果53+99
如果S=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98*99，
孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。
2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示为两个素数的和。
否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞还是不敢说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。
根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以下的偶数，猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。
另外型为S=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。
还有S=51也要排除掉，因为51=17+2*17。如果鬼谷子选的是(17,2*17)，那么孙知道
的将是M=2*17*17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2*17)。（为什么51要单独拿出来，要看下面的推理）
3)于是我们得到S必须在以下数中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53
另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个
数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数（必是一偶一
奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保
证奇的那个是合数），也就是S只能拆成
a) S=2+a*b 或 b) S=a+2^n*b
这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。
那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些
数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然）
a)或者孙的M=2*a*b，孙就会在(2*a,b)和(2,a*b)至少两组数里拿不定主意（a和
b都是奇数，所以这两组数一定不同）；
b)或者M=2^n*a*b，
如果n>1，那么孙就会在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少两组数里拿不定主意；
如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2*a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主
意；
如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要
讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孙拿到的M=9*18，他就会在
(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。
（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否
过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦）
现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在
C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}
中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数
是什么”这句话
孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。
4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他
还是会在多个猜想之间拿不定主意。
庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。
5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的
条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。
于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n>1，p为素数。
因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，孙膑都
可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，
只有(2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道
了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况犯愁。
因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，
47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在
17 29 41 53
中。让我们继续缩小这个表。
29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确判断出来：
a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孙可以猜的组合是(2,27)(3,18)(6,9)，
后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20)
(10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是庞涓却要为孙膑的M到底是2*27还是4*25苦恼。
41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。
53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。
研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
(2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4)
的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。
(3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)
的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。
(5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。
(6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。
(7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。
于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。
参考答案：
这两个数字是4和13。原因同上。
鬼谷子的捭阖之道是什么意思
“捭阖”作为一种游说的方法，就是要动摇对方原先的认识，让其重新建立认识，捭与阖两者在方法上虽然对立，但在效果和目的上却高度统一，就是让对方把原有的认识去除掉——“出之、去之”，同时又重新建立接纳一些认识——“纳之、取之”。
通过捭阖来调整阴阳，游说也是如此，运用恰当的阴阳言辞，改变对方的想法，而让对方主动接纳自己的意见，化圆而为方，奠定其开展相应行动的基础。思想为行动的指导之意，先有想法而后才有行动，才能影响和改变事物的发展。
扩展资料：
捭阖者，道之大化，说之变也；必豫审其变化，吉凶大命系焉。口者，心之门户也；心者，神之主也。志意、喜欲、思虑、智谋，此皆由门户出入，故关之以捭阖，制之以出入。
游说的捭阖，是指千变万化的说辞，“说之变也”。作为根本大道，是引起阴阳因素变化，从而使得事物产生改变。而说辞是重要的开合手段，说辞产生的阴、阳开闭效果，能影响和改变对方的想法。
语言必须进行控制。心里有想的，嘴上才有说的，但是心里想的，嘴里不能全讲出来，讲出来也要讲究方式方法，必须“关之以捭阖，制之以出入”，不是全关了不讲，也不是全开了乱讲，而是该开的开，该关的关，掌控语言的度，体现语言的技巧和艺术。这是说客必须要掌握的一门功课，也是捭阖之道的精华所在。
捭阖者，天地之道。捭阖者，以变动阴阳四时，开闭以化万物。纵横、反出、反覆、反忤必由此矣。
在鬼谷子看来，人世与自然统一于捭阖之道。天地万物由阴阳因素的开合所生灭，故而开闭阴阳因素能够改变事物的状态与发展路径，“以变动阴阳四时”“开闭以化万物”进而影响事物的生成发展。纵横、反出、反覆、反忤，通过这些改变对方的决策。
参考资料：
捭阖-百度百科
鬼谷子的这句话 “智能用于众人之所不能知，而能用于众人之所不能” 潜谋于无形，常胜于不争不费。
“智能用于众人之所不能知，而能用于众人之所不能”，这句话来自于“鬼谷子”谋第十。其实从字面上理解很容易，就是说，真正的谋略使用出来，常人无法觉察，却可以做到普通人无法完成的事情。至于如何运用，这就跟道德经里面“功成事遂，百姓皆谓：我自然”差不多了，全都是“无为而无不为”。当然这里我们要研究的是老子与鬼谷子的思维，千万不要涉及思想，因为思想中涉及了很多时代环境因素。实际上很多人，对“无为”都有偏见或者认识上的错误，认为是消极思想，其实不然，“无为而无不为”是一种非常积极的思想。“无为”不是让我们自身无为，而是让我们对待事物无为，万物都有两面性，当一件事摆在你面前的时候，有对你不利的一面也有对你有利的一面，这是并存的。“无为而无不为”就是让我们利用这种辩证的思维去看待事物，分析事物，分析出事物的两面性，按照自己的意图去选择助推，如此四两拨千斤，在没有强加改变事物本来面目或移动轨迹的情况下达到目的，相对于去强加改变，这种方法没有副作用，没有后坐力，用在谋略上，更是不容易被人发现，所以才能达到“智能用于众人之所不能知，而能用于众人之所不能”的境界。
然而，对于普通人来说，这些事情是根本无法实现，或者说是天方夜谭，但实际上这是完全可以做到的，真正可以做到的人，在《反经·品目》中被分类成为“圣人”，根据本人多年的学习，认为这其实就是一种思维方式的问题，而这种思维方式不仅仅是鬼谷子的谋略，老子的思想，也是黑格尔辩证法，爱因斯坦相对论，毛泽东矛盾论的出发点，这些都是依靠这种思维产生的。所以如果想要从谋略上达到那种境界，就必须拥有这种思维方式，然而这种思维方式，与你的主观意识是反方向运动的，所以非常难以领悟过多。
对于这种思维的获得，本人总结了两种方法，第一个是运气好，在自身还有什么思维定式，没有确立三观的基础上，误打误撞接触了关于这种思维方式的东西。第二种是刻苦寻找，阅读大量书籍，但是老子也说了“为学日益，为道日损”，虽然读万卷书可以积累知识，单并不利于自身领悟那种思维，这样所得目的，就是寻找一个可以让自己获得这种思维的闪光点，这个闪光点相当于引爆点，一旦引爆，自己以前的思维定式，逻辑概念全部坍塌，之后重新确立，这是一个十分痛苦的过程。但然，更多的人是努力一辈子也找不到闪光点的。
所以，我并不主张在这方面耗费精力和时间，虽然掌握了这种思维可以帮你看清万物，但是这毕竟不是必须的，世界上更多的人根本不知道有这种东西存在，但是依然获得很好，依然可以成就事业，“道生之，德养之”道将万物生成，德引导万物才有了现在的世界，以及物种的多样性。道就相当于那种思维，德就相当于一个路标，找到适合自己的一条路，比什么都重要，否则就会停止不前。
而对于鬼谷子，里面有很多招数，但然也有道的部分，这就相当于笑傲江湖中的气宗和剑宗，剑宗善于招数，周期快，气宗练内功，周期慢，然而高手的过招都是内功的比对。内功就相当于鬼谷子中“道”的部分，虽然可以化腐朽为神奇，但是周期慢，还有很多不确定性因素。那些招数的学习基本是个人都可以学会，没有对天赋或者运气的特别要求，所以现代人研究鬼谷子多为研究“术”，很少有人研究“道”，当然这些对付职场已经足够了。